AdvancesinEducation教育進(jìn)展,2017,7(6),328-333

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/10.12677/ae.2017.76051

SomeFamousProblemsSolvedbyFull

ProbabilityFormula

XiaohanYang

SchoolofMathematicsScience,TongjiUniversity,Shanghai

Received:Oct.19,2017;accepted:Nov.1,2017;published:Nov.8,2017thstth

Abstract

entingsomeinter-

estingandfamousproblemsthatareapplicatiofthissubjectinsteadofmathematicsdeduction,

thispaperattemptsnotonlytoillustratehowthitremelyimportantformulacomesintoplay

butalsotoletindividualfeelitisfundamentalandawesometolearnprobability.

Keywords

FullProbabilityFormula,MontyHallProblem,Simpson’sParadox,SensitivityAnalysis

全概率公式解釋的經(jīng)典問題

楊筱菡

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海

收稿日期：2017年10月19日；錄用日期：2017年11月1日；發(fā)布日期：2017年11月8日

摘要

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程與實(shí)際問題聯(lián)系非常密切，其重要性不言而喻。另一方面，不管是教科書還

是學(xué)生，在教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中都缺乏直接體會(huì)概率統(tǒng)計(jì)課程重要性的載體。本文嘗試以課程中一個(gè)非常

重要的公式——全概率公式為切入點(diǎn)，收集整理了用全概率公式解釋的一些有趣的經(jīng)典問題，并結(jié)合直

觀的樹圖講解，使得學(xué)生在輕松掌握全概率公式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，還有了利用概率統(tǒng)計(jì)方法解釋現(xiàn)實(shí)

中經(jīng)典案例的直觀體驗(yàn)，寓教于樂，提高學(xué)習(xí)積極性。

文章引用:楊筱菡.全概率公式解釋的經(jīng)典問題[J].教育進(jìn)展,2017,7(6):328-333.

DOI:10.12677/ae.2017.76051

楊筱菡

關(guān)鍵詞

全概率公式，蒙提霍爾問題，辛普森悖論，敏感性問題

Copyright?2017byauthorandHansPublishersInc.

ThisworkislicensedundertheCreativeCommAttributionInternationalLicense(CCBY).

/licenses/by/4.0/

1.

引言

眾所周知，全概率公式是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中一個(gè)非常重要的公式。在大多數(shù)的教科書[1][2]

上，我們能看到詳細(xì)的關(guān)于全概率公式的介紹及公式的推導(dǎo)?？v觀以往的文獻(xiàn)，也不難發(fā)現(xiàn)很多關(guān)于完

備事件組的分解注釋、這個(gè)公式的推廣及其應(yīng)用[3][4][5][6]，教案設(shè)計(jì)、教學(xué)方法研究[7]等等，但是很

少有文獻(xiàn)討論關(guān)于這一知識(shí)點(diǎn)的例子選擇和收集。我們在教與學(xué)的過程中通常都會(huì)借助一些例子來加強(qiáng)

對數(shù)學(xué)概念或公式的理解和運(yùn)用，例如疾病檢測就是一個(gè)被經(jīng)常選入教科書的典型例子，因?yàn)槔邮亲?/p>

直接最有效的學(xué)習(xí)載體，也是理解知識(shí)點(diǎn)的最佳途徑。筆者在多年的教學(xué)過程中，參考了多本教材，發(fā)

現(xiàn)全概率公式這一知識(shí)點(diǎn)的例子都比較中規(guī)中矩，主要注重對全概率公式的講解和運(yùn)用，但是相對都比

較沉悶，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中缺乏興趣和動(dòng)力，主動(dòng)性不高。因此，在本文中，我們收集整理了三個(gè)和全

概率公式相關(guān)的生動(dòng)有趣的問題或例子，供學(xué)生學(xué)習(xí)和理解這兩個(gè)公式時(shí)借鑒，同時(shí)也能了解一些流傳

的經(jīng)典案例，提高學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的積極性。

為了后續(xù)內(nèi)容介紹的連貫性，首先，我們還是先簡單闡述一下全概率公式的定義。

完備事件組的定義：設(shè)

E

是隨機(jī)試驗(yàn)，

?

是相應(yīng)的樣本空間，A

1

,A

2

,?,A

n

為事件組，若

A

1

,A

2

,?,A

n

滿足條件：(1)A

i

?=

A

j

φ(i

≠

j)；(2)

A

1

?A

2

???A

n

=?

，則稱事件組

A

1

,A

2

,?,A

n

為樣本空間的一個(gè)完

備事件組。完備事件組完成了對樣本空間的一個(gè)分割。同時(shí)也完成了對事件B的一個(gè)分割，見圖1和圖2。

全概率公式：設(shè)A

1

,A

2

,?,A

n

為完備事件組，且P(A

i

)>0(i=1,2,?,n)，

B

為任一事件，則

P(B)=∑P(A

i

)P(B|A

i

)

i=1

n

ionofthesamplespace

圖1.完備事件組

DOI:10.12677/ae.2017.76051329

教育進(jìn)展

楊筱菡

例如，當(dāng)n=2時(shí)，即為P(B)P(A)P(B|A)+PAPB|A

。下面的樹圖(圖3)給出了全概率公式的分解。

=()()

2.蒙提霍爾問題(MontyHallProblem)

這是一個(gè)源自博弈論的數(shù)學(xué)游戲問題。這個(gè)概率問題也因?yàn)橛捌皼Q勝21點(diǎn)”中，主角班·坎貝爾

(BenCampbell)成功解開教授米基·羅沙(MickeyRosa)在課上的提問而非常有名。影片中是這樣描述的，

有三扇關(guān)閉了的門A、B和C，其中一扇門后是一輛汽車(寓意價(jià)值高，是獎(jiǎng)品)，其他兩扇門后各藏有一

只山羊(寓意價(jià)值很低)，Ben選了第一扇門A，然后教授Michey把第三扇門C打開了，后面是一只山羊。

這時(shí)候教授Michey問Ben：“你換不換到第二扇門？”Ben的回答是：換。因?yàn)槿绻粨Q，贏得汽車的

12

概率是

；如果換，贏得汽車的概率將是。

3

3

這樣的回答似乎感覺上與我們的直觀相悖，因?yàn)閺闹庇^上來說，既然已經(jīng)知道C門后是羊，那么A

1

門和B門一個(gè)后面是汽車，另一個(gè)后面是山羊，不管選A或B，選到汽車山羊的概率都是

。換句話說，

2

1

這時(shí)候，換或不換，贏得汽車的概率都是

。事實(shí)上，如果Ben先選中的A門后是山羊，換后百分之百

2

21

贏；如果A門后是汽車，換后百分之百輸。而A門后是山羊的概率是

，A門后是汽車的概率是。所

33

1

以不管怎樣都換，相對最初的贏得汽車僅為

的機(jī)率來說，轉(zhuǎn)換選擇可以增加贏的機(jī)會(huì)。

3

ionofeventB

圖2.事件B的分割

agramoffullprobabilityformula

圖3.全概率公式的樹圖分解

DOI:10.12677/ae.2017.76051330

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關(guān)于這個(gè)問題，我們可以查詢到很多種解釋方法，而借助全概率公式的解釋是比較容易理解的一種

解釋方式。首先可以用樹圖(圖4)來表示兩個(gè)不同策略及其相應(yīng)的概率值。

首先設(shè)

A

=“最初選擇的門后是汽車”，

B

表示“最終贏得汽車”，則由已知條件知，實(shí)際情況中

12

汽車在A門后的概率是

，不在A門后的概率是，即

3

3

=P(A)

12

。

=,PA

33

()

策略一：Ben不換選擇，即仍然選擇A門，則Ben能最終贏得汽車的概率，即

P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=()()121

×1+×0=

，

333

策略二：Ben換選擇，即換至未開啟的B門，則Ben能最終贏得汽車的概率，即

P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=()()122

×0+×1=

，

333

所以，顯然，策略二即Ben換到未打開的B門，他能贏得汽車的概率將比不換增加一倍。

3.辛普森悖論(Simpson’sparadox)

例如，有兩種治療腎結(jié)石的方案：方案1和方案2。在接受方案1治療的所有患者中小結(jié)石患者占

23%，大結(jié)石患者占77%，小結(jié)石患者的治愈率是93%，大結(jié)石患者的治愈率是73%。在接受方案2治

療的所有患者中小結(jié)石患者占67%，大結(jié)石患者占33%，小結(jié)石患者的治愈率是87%，大結(jié)石患者的治

愈率是69%。如表1所示。

首先，我們發(fā)現(xiàn)不管是對小結(jié)石患者還是大結(jié)石患者，方案1的治愈率都要高于方案2，那么我們

能就此判斷方案1要優(yōu)于方案2嗎？

同樣設(shè)

A

=“小結(jié)石患者”，

B

=“治愈”，

方案1：由已知條件可知：

=P(A)0.23,=PA0.77,=P(B|A)0.93,=PB|A0.73

，

則根據(jù)全概率公式，可得所有接受方案1的患者治愈率為：

()()

P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=0.23×0.93+0.77×0.73=0.776()()

策略一：不換選擇策略二：換選擇

agramofMontyHallProblem

圖4.蒙提霍爾問題策略樹圖

DOI:10.12677/ae.2017.76051331

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atmentsforkidneystone

表1.兩種治療腎結(jié)石的方案

方案1

患者比例

小結(jié)石患者(A)

大結(jié)石患者(

A

)

23%

77%

治愈率(B)

93%

73%

患者比例

67%

33%

治愈率(B)

87%

69%

方案2

方案2：由已知條件可知：

=P(A)0.67,=PA0.33,=P(B|A)0.87,=PB|A0.69，

則所有接受方案2的患者治愈率為：

()()

P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=0.67×0.87+0.33×0.69=0.8106，

所以，方案2的患者治愈率要比方案1高！這個(gè)結(jié)論大大出乎我們之前的直觀結(jié)論。

究其原因，那是因?yàn)橹坝^察數(shù)據(jù)的時(shí)候，我們比較的是每種方案下，不同患者的治愈率，換句話

說，我們比較的這些“治愈率”都是條件概率。

如果把不同患者定義成“原因”(

A

和A)，治愈定義成“結(jié)果”(

B

)。也可以說，我們比較的是，在

已知不同“原因”發(fā)生的條件下，“結(jié)果”發(fā)生的概率。而通過全概率公式的計(jì)算，最終我們只是比較

“結(jié)果”發(fā)生概率的大小，這是綜合了所有“原因”以后的一個(gè)結(jié)論。而各個(gè)“原因”在全概率公式計(jì)

算中占有的權(quán)重直接影響了最終的概率結(jié)論，發(fā)生了所謂的“悖論”的出現(xiàn)！

()()

4.敏感性問題調(diào)查(sensitivityanalysis)

對于考試作弊，博，偷稅漏稅，酒后駕車等一些涉及個(gè)人隱私或利害關(guān)系，不受被調(diào)查對象歡迎

或感到尷尬的敏感問題，即使做無記名的直接調(diào)查，也很難消除被調(diào)查者的顧慮，他們極有可能拒絕應(yīng)

答或故意做出錯(cuò)誤的回答，很難保證數(shù)據(jù)的真實(shí)性，使得調(diào)查的結(jié)果存在很大的誤差。如何設(shè)計(jì)合理的

調(diào)查方案，來提高應(yīng)答率并降低不真實(shí)回答率呢？基于全概率公式的調(diào)查方案設(shè)計(jì)就能解決這個(gè)問題。

調(diào)查方案設(shè)計(jì)的基本思想是，讓被調(diào)查者從

問題1：你在考試中曾經(jīng)作弊過嗎？

問題2：你生日的月份是奇數(shù)嗎？(約定一年有365天)

這兩個(gè)問題中，隨機(jī)地選答其中一個(gè)，同時(shí)調(diào)查者并也不知情被調(diào)查者回答的是哪一個(gè)問題，從而

保護(hù)被調(diào)查者的隱私，消除被調(diào)查者的顧慮，能夠?qū)ψ约核x的問題真實(shí)地回答。

調(diào)查者準(zhǔn)備一套13張同一花的，在選答上述問題前，要求被調(diào)查的學(xué)生隨機(jī)抽取一張，看后

放回，調(diào)查者并不知道學(xué)生抽取的情況。約定如下：如果學(xué)生抽取的是不超過10的數(shù)則回答問題1；反

之，則回答問題2。假定調(diào)查結(jié)果是收回400張有效答卷，其中有80個(gè)學(xué)生回答“是”，320個(gè)學(xué)生回

答“否”，求被調(diào)查的學(xué)生考試作弊的概率p。

以

A

表示選答問題1，

B

表示回答“是”，P(B|A)=p，則由已知條件知：

=P(A)

103184

，

=,PA,=PB|A

1313365

()()

由全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=

=p

DOI:10.12677/ae.2017.76051332

()()1031841

×p+×=

，由此可算得

13133655

397

≈0.109

。

3650

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楊筱菡

5.結(jié)語

以上三個(gè)例子都是可以利用全概率公式來解決的著名經(jīng)典問題，從全概率公式的講解來看，簡單易

懂，相比目前的教材中多以盒子取球或擲骰子為背景的例題來說，趣味性大大增強(qiáng)，不失為課堂教學(xué)和

活躍氣氛的好例子，使得學(xué)生能輕松快速掌握全概率公式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，還有了利用概率統(tǒng)計(jì)方法解釋現(xiàn)

實(shí)中經(jīng)典案例的直觀體驗(yàn)，寓教于樂，提高學(xué)習(xí)積極性。

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